函數(shù)過定點(diǎn)的理解

• 定義角度
  • 在數(shù)學(xué)中，函數(shù)過定點(diǎn)是指函數(shù)圖像經(jīng)過一個特定的、坐標(biāo)已知的點(diǎn)。這個點(diǎn)在函數(shù)的定義域和值域內(nèi)。例如有函數(shù)$f(x)$，若知道它經(jīng)過點(diǎn)$(a,b)$，那就意味著當(dāng)$x = a$時(shí)，$f(a)=b$，$(a,b)$就是函數(shù)圖像上的一個定點(diǎn)$1$。
• 不同函數(shù)類型中的體現(xiàn)
  • 一次函數(shù)：對于一次函數(shù)$y = kx + b(k\neq0)$，當(dāng)$x = 0$時(shí)，$y=b$，所以無論$k$如何取值，其圖像總經(jīng)過定點(diǎn)$(0,b)$。
  • 二次函數(shù)：像$y = ax^{2}+bx + c(a\neq0)$，當(dāng)$c$確定時(shí)，不管$a$和$b$取何值，圖像總經(jīng)過定點(diǎn)$(0,c)$。例如$y = ax^{2}-2ax + 1=a(x(x - 2))+1$，當(dāng)$x = 0$或者$x = 2$時(shí)，函數(shù)值$y = 1$，所以該二次函數(shù)圖像必經(jīng)過點(diǎn)$(0,1)$和$(2,1)$，這里的定點(diǎn)與參數(shù)$a$的取值無關(guān)$2$。
  • 對數(shù)函數(shù)：如$y = k\ln x(k為常數(shù))$，無論$k$如何取值，函數(shù)圖像恒過定點(diǎn)$(1,0)$。
• 在解題中的作用
  • 確定函數(shù)表達(dá)式。若知道線性函數(shù)$y = mx + b$過定點(diǎn)$(x_{1},y_{1})$，將坐標(biāo)代入表達(dá)式得到$y_{1}=mx_{1}+b$，從而解出斜率$m$或截距$b$來確定整個函數(shù)表達(dá)式。在復(fù)雜函數(shù)如二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等中，過定點(diǎn)的信息可幫助確定函數(shù)的參數(shù)，進(jìn)而確定函數(shù)的具體形式$1$。
  • 幫助理解函數(shù)圖像與表達(dá)式關(guān)系。在教學(xué)中，有助于學(xué)生理解兩者關(guān)系，以及如何利用已知定點(diǎn)信息求解函數(shù)未知參數(shù)。