向量的數(shù)量積何時(shí)為正，何時(shí)為負(fù)

向量的數(shù)量積（也稱為點(diǎn)積）是一個(gè)標(biāo)量，其值取決于兩個(gè)向量的夾角。具體來說，向量的數(shù)量積的正負(fù)性由兩個(gè)向量之間的夾角決定。以下是詳細(xì)的解釋：

1. 向量的數(shù)量積為正

• 夾角小于90度：當(dāng)兩個(gè)向量的夾角 $\theta$ 小于90度時(shí)，即 $0^\circ \leq \theta < 90^\circ$，向量的數(shù)量積為正。這是因?yàn)榇藭r(shí)夾角的余弦值 $\cos(\theta)$ 是正數(shù)。
  • 數(shù)學(xué)表達(dá)式：$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta) > 0$
  • 例子：如果兩個(gè)向量的方向大致相同，它們的夾角接近0度，數(shù)量積為正。

2. 向量的數(shù)量積為負(fù)

• 夾角大于90度：當(dāng)兩個(gè)向量的夾角 $\theta$ 大于90度時(shí)，即 $90^\circ < \theta \leq 180^\circ$，向量的數(shù)量積為負(fù)。這是因?yàn)榇藭r(shí)夾角的余弦值 $\cos(\theta)$ 是負(fù)數(shù)。
  • 數(shù)學(xué)表達(dá)式：$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(\theta) < 0$
  • 例子：如果兩個(gè)向量的方向大致相反，它們的夾角接近180度，數(shù)量積為負(fù)。

3. 向量的數(shù)量積為零

• 夾角等于90度：當(dāng)兩個(gè)向量的夾角 $\theta$ 等于90度時(shí)，即 $\theta = 90^\circ$，向量的數(shù)量積為零。這是因?yàn)榇藭r(shí)夾角的余弦值 $\cos(\theta)$ 為零。
  • 數(shù)學(xué)表達(dá)式：$\mathbf{A} \cdot \mathbf{B} = |\mathbf{A}| |\mathbf{B}| \cos(90^\circ) = 0$
  • 例子：如果兩個(gè)向量互相垂直，它們的數(shù)量積為零。

總結(jié)

• 正數(shù)：當(dāng)兩個(gè)向量的夾角小于90度時(shí)，數(shù)量積為正。
• 負(fù)數(shù)：當(dāng)兩個(gè)向量的夾角大于90度時(shí)，數(shù)量積為負(fù)。
• 零：當(dāng)兩個(gè)向量的夾角等于90度時(shí)，數(shù)量積為零。

這些結(jié)論基于向量數(shù)量積的定義和夾角的余弦值的性質(zhì)。理解這些規(guī)律有助于在幾何和物理問題中正確應(yīng)用向量的數(shù)量積。