實(shí)二次型正定的充分必要條件

1、為了證明實(shí)二次型\（f=x^TAx\）為正定的充分必要條件是：存在可逆矩陣\（U\），使得\（A=U^TU\），我們將分兩部分進(jìn)行證明。首先證明充分性：若存在可逆矩陣\（U\），使得\（A=U^TU\），則\（A\）與矩陣合同，因此\（A\）正定。

2、充分必要的條件如下：二次型矩陣的順序主子式全部大于0。二次型矩陣的特征值都大于零。二次型的正慣性指數(shù)為n。

3、兩個(gè)n元實(shí)二次型等價(jià)的充分必要條件是：它們有相同的秩，且有相同的正慣性指數(shù)（或有相同的秩與符號差）。

4、n元實(shí)二次型f （x1，x2，…，xn）正定的充分必要條件是它的矩陣A的特征值全大于零。n元二次型f =XTAX正定（實(shí)對稱矩陣A正定）的充要條件，是存在可逆C，使得CTAC=E （即A與n階矩陣E合同）。正定矩陣的行列式大于零。

5、二次型 \（f = X^TAX\） 為正定二次型的充分必要條件涉及矩陣的性質(zhì)與轉(zhuǎn)換。首先，若矩陣 \（A\） 可以通過存在可逆矩陣 \（U\），滿足等式 \（A = U^TU\），則 \（A\） 被認(rèn)為是正定的。這意味著 \（A\） 與矩陣合同，即存在某種轉(zhuǎn)換方式將 \（A\） 轉(zhuǎn)化為矩陣。

二次型正定的充要條件是什么?

二次型正定的充要條件：元實(shí)二次型f（z）= a Aa正定的充要條件是它的標(biāo)準(zhǔn)形的n個(gè)系數(shù)全為正，即它的正慣性指數(shù)”p=n”。

二次型正定的充要條件是必要條件就是二項(xiàng)型正定一定滿足的條件，反之滿足這個(gè)條件，二次型不一定正定。這里是指矩陣范數(shù)還是說矩陣的行列式值不過這兩個(gè)概念，都跟這個(gè)題目沒有多大關(guān)系首先應(yīng)該考慮什么條件，可以得到它是正定二次型上述證明。是一種是通過定義證明的也可以通過證明矩陣是正定矩陣。

正定二次型是指對于任意非零向量x，都有x^TAX 0，其中A是對稱矩陣。如果一個(gè)二次型是正定的，那么它的行列式一定大于0。證明如下：假設(shè)A是一個(gè)n階對稱矩陣，且A是正定的。我們要證明det（A） 0。根據(jù)正定二次型的定義，對于任意非零向量x，都有x^TAX 0。

定正定二次型的充要條件：矩陣是正定，負(fù)定二次型基本推論：求二次型是否正定：斷二次型的正定性：斷二次型的正負(fù)：正定二次型的簡單性質(zhì)，這樣斷一個(gè)矩陣是正定，負(fù)定二次型的問題就解決了。

n元實(shí)二次型f （x1，x2，…，xn）正定的充分必要條件是它的矩陣A的特征值全大于零。n元二次型f =XTAX正定（實(shí)對稱矩陣A正定）的充要條件，是存在可逆C，使得CTAC=E （即A與n階矩陣E合同）。正定矩陣的行列式大于零。