四元數(shù)是一種用于表示三維空間中旋轉(zhuǎn)的數(shù)學(xué)工具，它由一個實(shí)部和三個虛部組成，通常表示為 ( q = a + bi + cj + dk )，其中 ( a, b, c, d ) 是實(shí)數(shù)，( i, j, k ) 是虛部，且滿足 ( i2 = j2 = k2 = ijk = -1 )。

在三維空間中，我們可以將四元數(shù)用于表示坐標(biāo)，尤其是在需要表示旋轉(zhuǎn)的情況下。以下是如何將四元數(shù)與坐標(biāo)系統(tǒng)關(guān)聯(lián)的幾種方式：

1. 旋轉(zhuǎn)表示：

當(dāng)四元數(shù)的虛部為零時，即 ( q = a )，它表示一個純旋轉(zhuǎn)，其中 ( a ) 是一個單位四元數(shù)，表示三維空間中的一個旋轉(zhuǎn)軸和旋轉(zhuǎn)角度。

當(dāng)四元數(shù)的實(shí)部為零時，即 ( q = bi + cj + dk )，它表示一個純平移，其中 ( (b, c, d) ) 是三維空間中的一個向量。

2. 坐標(biāo)變換：

四元數(shù)可以用來表示坐標(biāo)變換，包括旋轉(zhuǎn)和平移。例如，假設(shè)我們有一個點(diǎn) ( P = (x, y, z) )，我們可以通過四元數(shù) ( q = a + bi + cj + dk ) 來變換這個點(diǎn)。

如果 ( q ) 是一個旋轉(zhuǎn)四元數(shù)，那么點(diǎn) ( P ) 在 ( q ) 作用下變換為 ( P' ) 的過程可以表示為：( P' = qPq{-1