證明函數(shù)為常值函數(shù)的方法

• 利用函數(shù)定義
  • 常值函數(shù)指值域?yàn)橐辉暮瘮?shù)，即對(duì)于函數(shù)定義域中的一切$x$，都有$f(x)=a$（$a$是一個(gè)固定元素）。所以若能證明在函數(shù)的定義域內(nèi)，無(wú)論自變量$x$取何值，函數(shù)值始終等于一個(gè)固定的常數(shù)$a$，就可證明該函數(shù)是常值函數(shù)。例如，對(duì)于函數(shù)$f(x)$，通過(guò)分析$x$在定義域內(nèi)不同取值時(shí)函數(shù)的表達(dá)式或計(jì)算結(jié)果，若都得出$f(x)=c$（$c$為常數(shù)），則可證明它是常值函數(shù)。
• 利用導(dǎo)數(shù)性質(zhì)（對(duì)于可微函數(shù)）
  • 如果函數(shù)$f(x)$在某區(qū)間上可微且其導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x)=0$，那么$f(x)$在該區(qū)間上是常值函數(shù)。例如，已知函數(shù)$y = f(x)$，先求出其導(dǎo)數(shù)$f^\prime(x)$，若在某個(gè)區(qū)間內(nèi)$f^\prime(x)$恒等于$0$，這意味著函數(shù)在該區(qū)間上的變化率為$0$，即函數(shù)值不隨自變量的變化而變化，所以是常值函數(shù)。
• 對(duì)于凸函數(shù)（特殊情況）
  • 當(dāng)凸函數(shù)有界時(shí)為常值函數(shù)。例如在$R$上有界一元可微凸函數(shù)為常值函數(shù)。因?yàn)?span id="cak8wsuwooa2" class="katex">$R$上凸函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)必然在$R$上恒大于等于$0$，利用反證法或中值定理、延森不等式等方法可證明其為常值函數(shù)。具體證明時(shí)，可根據(jù)凸函數(shù)的定義，假設(shè)存在不同的函數(shù)值，然后推出與有界等條件矛盾的結(jié)果，從而證明函數(shù)只能是常值函數(shù)。