求四階矩陣逆矩陣的方法

• 初等行變換法
  • 首先將四階矩陣 $A$ 與四階單位矩陣 $I$ 拼成一個 $4\times8$ 階的增廣矩陣 $[A|I]$。然后對這個增廣矩陣進行初等行變換，目標是將左邊的矩陣 $A$ 變換為單位矩陣 $I$，此時右邊得到的矩陣就是 $A$ 的逆矩陣 $A^{-1}$。例如，通過行交換、某行乘以非零常數(shù)、某行加上另一行的倍數(shù)等操作來實現(xiàn)。這種方法的依據(jù)是，對矩陣進行初等行變換相當于左乘一個初等矩陣，一系列的初等行變換相當于左乘一系列的初等矩陣，而這些初等矩陣的乘積就是原矩陣的逆矩陣$6$。
• 伴隨矩陣法
  • 先求四階矩陣 $A$ 的行列式 $|A|$，若 $|A|\neq0$，則矩陣 $A$ 可逆。接著求出 $A$ 的伴隨矩陣 $adj(A)$。對于四階矩陣，伴隨矩陣的元素是原矩陣對應(yīng)元素的代數(shù)余子式組成的矩陣的轉(zhuǎn)置。最后根據(jù)公式 $A^{-1}=\frac{1}{|A|}adj(A)$ 計算出逆矩陣。這里利用了矩陣可逆的定義 $AB = BA=E$，通過行列式和代數(shù)余子式的關(guān)系推導(dǎo)出這個公式$8$。
• 待定系數(shù)法
  • 設(shè)四階矩陣 $A$ 的逆矩陣為 $B$（$B$ 的元素設(shè)為未知量），根據(jù) $AB = E$ 列出方程組，然后解方程組求出 $B$ 的各個元素。這是基于逆矩陣的定義，如果 $A$ 可逆，那么存在矩陣 $B$ 使得 $AB = E$，通過解方程組來確定 $B$ 的元素$8$。