一、定義

• 絕對收斂：對于一個級數$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$，如果級數$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$收斂，那么就稱級數$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$絕對收斂。例如，級數$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$，$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}\vert=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n^{2}}$是收斂的（根據$p -$級數，當$p = 2>1$時收斂），所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n^{2}}$絕對收斂。
• 條件收斂：如果級數$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$收斂，但是$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$發(fā)散，那么就稱級數$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$條件收斂。例如，級數$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$，根據萊布尼茨判別法可知該級數收斂，但是$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert\frac{(-1)^{n}}{n}\vert=\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{1}{n}$是發(fā)散的（調和級數發(fā)散），所以$\sum_{n = 1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}$條件收斂。

二、判斷方法

1. 比較判別法
   • 絕對收斂判斷：如果能找到一個收斂的正項級數$\sum_{n = 1}^{\infty}v_{n}$，使得對于足夠大的$n$，有$\vert u_{n}\vert\leq v_{n}$，那么$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$絕對收斂。
   • 條件收斂判斷：當原級數收斂，而通過比較判別法發(fā)現$\sum_{n = 1}^{\infty}\vert u_{n}\vert$不滿足收斂條件時，可能是條件收斂。
2. 比值判別法
   • 對于級數$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$，計算$\lim_{n\rightarrow\infty}\vert\frac{u_{n + 1}}{u_{n}}\vert = L$。
   • 絕對收斂判斷：如果$L<1$，那么$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$絕對收斂。
   • 條件收斂判斷：如果原級數收斂，但$L = 1$時，比值判別法失效，需要進一步判斷是否為條件收斂。
3. 根值判別法
   • 計算$\lim_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{\vert u_{n}\vert}=L$。
   • 絕對收斂判斷：如果$L<1$，則$\sum_{n = 1}^{\infty}u_{n}$絕對收斂。
   • 條件收斂判斷：若原級數收斂但$L = 1$時，根值判別法失效，要進一步探討是否為條件收斂。