一、利用定義求解

1. 中心對(duì)稱點(diǎn)定義
   • 若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$A(x_0,y_0)$處具有中心對(duì)稱性，則$f(x_0 + x_1)+f(x_0 - x_1)=2y_0$，其中$x_1$為任意實(shí)數(shù)。通過計(jì)算$f(x_0 + x_1)+f(x_0 - x_1)$的值，并與$2y_0$比較，可判斷函數(shù)是否在點(diǎn)$A(x_0,y_0)$處具有中心對(duì)稱性。例如，對(duì)于函數(shù)$f(x)=x^2 - 2x + 1$判斷在點(diǎn)$A(1,0)$處的中心對(duì)稱性，計(jì)算$f(1 + x_1)+f(1 - x_1)=(1 + x_1)^2-2(1 + x_1)+1+(1 - x_1)^2-2(1 - x_1)+1 = 2$，而$2y_0 = 2\times0 = 0$，由于$f(1 + x_1)+f(1 - x_1)\neq2y_0$，所以在該點(diǎn)不具有中心對(duì)稱性。
2. 中心點(diǎn)定義
   • 若函數(shù)$f(x)$在點(diǎn)$A(x_0,y_0)$處具有中心點(diǎn)，則$f(x_0 + x_1)-f(x_0 - x_1)=2y_0$，其中$x_1$為任意實(shí)數(shù)。同樣通過計(jì)算$f(x_0 + x_1)-f(x_0 - x_1)$的值并與$2y_0$比較來判斷。對(duì)于上述函數(shù)$f(x)=x^2 - 2x + 1$在點(diǎn)$A(1,0)$處，計(jì)算$f(1 + x_1)-f(1 - x_1)=(1 + x_1)^2-2(1 + x_1)+1-(1 - x_1)^2 + 2(1 - x_1)-1 = 0$，而$2y_0 = 2\times0 = 0$，所以在該點(diǎn)具有中心點(diǎn)。

二、特殊形式函數(shù)

1. 奇函數(shù)與常數(shù)組合形式
   • 如果一個(gè)函數(shù)能拆分成“奇函數(shù)+常數(shù)$m$”的形式，則函數(shù)對(duì)稱中心為$(0,m)$。
2. 利用函數(shù)圖象關(guān)系
   • 設(shè)函數(shù)的對(duì)稱中心為$(a,b)$，那么如果點(diǎn)$(x,y)$在函數(shù)的圖象上，則點(diǎn)$(2a - x,2b - y)$一定也在函數(shù)的圖象上。將點(diǎn)$(2a - x,2b - y)$代入到函數(shù)的解析式中，化簡(jiǎn)為$y = f(x)$的形式，然后與原函數(shù)表達(dá)式比較系數(shù)，從而得出$a$，$b$的值，求出對(duì)稱中心。

三、根據(jù)函數(shù)性質(zhì)

1. 軸對(duì)稱性與對(duì)稱中心關(guān)系
   • 先確定函數(shù)的軸對(duì)稱性。若函數(shù)關(guān)于$x$軸對(duì)稱，滿足$f(x)=f(-x)$，對(duì)稱中心位于$x = 0$；若關(guān)于$y$軸對(duì)稱，滿足$f(x)=f(-x)$，則對(duì)稱中心為原點(diǎn)。對(duì)于非坐標(biāo)軸對(duì)稱的情況，可通過計(jì)算定義域內(nèi)函數(shù)值均值，找到使得函數(shù)值在對(duì)稱中心左右對(duì)稱的位置。最后通過繪制函數(shù)圖形，標(biāo)記計(jì)算出的對(duì)稱中心及對(duì)稱點(diǎn)，驗(yàn)證對(duì)稱性。