一、求極限的方法

• 利用函數(shù)性質(zhì)與運(yùn)算法則
  • 直接代入法：若所需求得的函數(shù)極限是趨于一個實數(shù)，并且將極限值代入函數(shù)后函數(shù)仍有意義（要求函數(shù)在極限處連續(xù)），則可直接將極限代入計算，例如求函數(shù)在某點(diǎn)極限，若該點(diǎn)函數(shù)值存在，極限就是該函數(shù)值。
  • 極限的四則運(yùn)算法則：當(dāng)函數(shù)為若干個簡單函數(shù)的相加、相減、相乘或相除（除數(shù)極限不為0）時，可以利用此法則將函數(shù)拆分，再分別計算函數(shù)極限，但使用時需保證極限存在。
• 特殊方法
  • 數(shù)學(xué)歸納法與不等式放縮法（針對數(shù)列）：用數(shù)學(xué)歸納法或不等式的放縮法判斷數(shù)列的單調(diào)性和有界性，確定極限存在性；再通過遞推關(guān)系取極限，解方程得到數(shù)列極限值。
  • 函數(shù)極限與數(shù)列極限關(guān)系法：若數(shù)列極限能看成某函數(shù)極限的特例，利用兩者關(guān)系轉(zhuǎn)化為求函數(shù)極限，之后可用洛必達(dá)法則求解（滿足洛必達(dá)法則使用條件時）。
  • 冪級數(shù)函數(shù)法：若可以找到級數(shù)所對應(yīng)的冪級數(shù)，求出冪級數(shù)的和函數(shù)，再根據(jù)極限形式代入相應(yīng)變量求出函數(shù)值。
  • 定積分定義法：數(shù)列每一項都可提出一個因子，剩余項可用一個通項表示時，可以考慮用定積分定義求解數(shù)列極限。
  • 夾逼定理：數(shù)列每一項可提出一個因子，剩余項不能用一個通項表示，但其余項按遞增或遞減排列，可考慮此定理求解；對于函數(shù)極限，若滿足夾逼準(zhǔn)則的條件也可使用。
  • 取對數(shù)法：求n項數(shù)列的積的極限，一般先取對數(shù)化為項和的形式，再利用求解項和數(shù)列極限的方法計算。
  • 等價無窮小代換法：當(dāng)兩個函數(shù)滿足一定極限條件時為等價無窮小，在求極限時可進(jìn)行代換簡化計算，如當(dāng)x→0時，sinx～x等。
  • 利用兩個重要極限：即$\lim_{x \to 0}\frac{\sin x}{x}=1$和$\lim_{x \to \infty}(1+\frac{1}{x})^x=e$，對所給函數(shù)或數(shù)列作適當(dāng)變形，使之具有相應(yīng)形式來求極限，有時可通過變量替換簡化問題。
  • 洛必達(dá)法則：當(dāng)x→a（或x→∞）時，兩個函數(shù)f(x)與g(x)都趨于零或趨于無窮?。?span id="cak8wsuwooa2" class="katex">$\frac{0}{0}$型或$\frac{\infty}{\infty}$型未定式），可考慮使用該法則求極限，但它不能解決所有極限問題。
  • 泰勒公式法：在已知函數(shù)在某一點(diǎn)的各階導(dǎo)數(shù)值的情況下，用這些導(dǎo)數(shù)值做系數(shù)構(gòu)建多項式來近似函數(shù)在這一點(diǎn)鄰域中的值，從而求得函數(shù)極限值。