如果我們把兩個(gè)向量相乘，得到另一個(gè)向量它垂直于兩個(gè)原向量。 這個(gè)操作就是求叉積。 我們可以用叉積求出垂直于兩個(gè)給定向量的方向，求出兩個(gè)向量張成的面積，確定兩個(gè)向量是否正交，等等。 那么，什么是叉積呢?

兩個(gè)向量的叉積得到一個(gè)垂直于由兩個(gè)原向量組成的平面的向量。

首先，我們可以求兩個(gè)三維向量的叉積! 這是對(duì)兩個(gè)三維向量進(jìn)行的運(yùn)算結(jié)果是第三個(gè)向量垂直于兩個(gè)原始向量，其大小是第一個(gè)向量的大小乘以第二個(gè)向量的大小再乘以兩個(gè)向量夾角的正弦。

我們回顧一下向量,請(qǐng)參考向量的基礎(chǔ)知識(shí)

在上圖中，我們有一個(gè)向量v→。 這個(gè)矢量的大小就是它的長度，矢量的方向已經(jīng)顯示出來了?，F(xiàn)在，如果我們求兩個(gè)向量a→和b→的叉積，其結(jié)果將是c→，如下圖所示:

注意，當(dāng)求叉積時(shí)，你可能會(huì)注意到兩個(gè)垂直于兩個(gè)原向量的方向。 向上和向下。 為了找出外積的方向，我們要用到右手定則。

用右手法則，你握住右手，食指指向第一個(gè)矢量的方向。然后，把中指轉(zhuǎn)向第二個(gè)矢量的方向。舉起你的大拇指。你的拇指現(xiàn)在應(yīng)該指向叉乘向量的方向。

請(qǐng)注意，如果你改變向量的順序(切換a→和b→)，叉積向量的方向?qū)⑾喾础?因此，叉積運(yùn)算是不可交換的; 順序很重要!

叉積的公式

正如我們提到的，外積是定義在三維向量上的。 我們可以把向量寫成分量的形式，例如，取向量a→，

x分量是a1, y分量是a2, z分量是a3。 現(xiàn)在，讓我們考慮如下所示的兩個(gè)向量:

a→和b→的叉積由公式給出:

這個(gè)公式記起來有點(diǎn)乏味。 但是不要擔(dān)心，這個(gè)公式來自于3×3矩陣的行列式。

回想一下2×2矩陣和3×3矩陣的行列式公式(請(qǐng)參考行列式的基本概念）。

對(duì)于二階方陣:

行列式的值為：

對(duì)于一個(gè)3階的方陣：

行列式的值為：

現(xiàn)在, 我們可以把向量a→和b→寫成3×3矩陣的行列式形式，如下所示:

將其打開分離：

這就是我們剛才展示的公式!

注意:向量i→，j→和k→是標(biāo)準(zhǔn)基向量，它們必須按照給定的順序出現(xiàn)。

單位向量的叉積有：

我們來看一個(gè)求向量a和向量b，向量b和向量a的叉積的例子， 若：

求axb, 和bxa

先求axb，

我們將把這兩個(gè)向量寫成3×3矩陣的形式，并用已知的行列式公式計(jì)算外積。 步驟如下:

我們?cè)偾骲xa:

注意，改變向量在叉乘中的順序改變了所有符號(hào)! 這意味著這兩個(gè)叉乘在方向上是相反的! 我們?cè)谏厦鎸W(xué)習(xí)右手法則時(shí)就注意到了這個(gè)事實(shí)!

向量叉積的一個(gè)重要應(yīng)用是給定兩個(gè)共點(diǎn)向量，求其形成的平行四邊形面積。

首先我們要證明向量叉積的矢量長度滿足以下公式：

現(xiàn)在我們證明這個(gè)公式，假設(shè)向量u， 和v，

讓 u = ? u1, u2, u3 ? ， v = ? v1, v2, v3 ? ，它們的夾角為θ，那么：

所以：

因此有兩個(gè)向量的叉積的模（長度）公式：

根據(jù)向量叉積定義，從上圖可以看出，平行四邊形的面積為：

若向量a, b分別給出， 那么它們所形成的平行四邊形面積見下面的計(jì)算：

根據(jù)上面的推導(dǎo)，可知a, b的矢量積的模即為面積。

矢量的點(diǎn)積與叉積的混合積可以計(jì)算棱柱的體積， 如圖：

此外，利用矢量積的叉乘，若夾角為0， 那么sinθ=0為零，即：

可以得出a, b平行的條件：

我們可以推出：

也就是：

由此推出兩個(gè)向量平行的充分必要條件是：