群的引入,子群與商群

1、群的引入增強了代數(shù)結(jié)構(gòu)的性質(zhì)，子群是群的重要組成部分，商群為理解群的結(jié)構(gòu)提供了新視角。群的引入：群的概念是對單一運算的擴展，引入了更廣泛的運算形式。例如，非零實數(shù)的乘法群展示了群元素可能的多樣性。群的引入使得代數(shù)結(jié)構(gòu)具備了更多優(yōu)良特性，為研究運算的獨立性提供了基礎(chǔ)。

2、群的概念引入了更廣泛的運算形式，如非零實數(shù)的乘法群，盡管整數(shù)本身不是乘法群，但借助1與-1，我們能得到滿足群定義的結(jié)構(gòu)，這展示了群元素可能的多樣性。我們隨后列舉了一些群的例子，包括那些在之前已提及的。研究群時，子群和群與子群的關(guān)系至關(guān)重要。

3、正規(guī)子群的概念在群論中占據(jù)重要地位，它的引入使得我們能夠深入研究群的結(jié)構(gòu)。正規(guī)子群的定義基于其所有左右陪集均對應(yīng)相等這一特性，這在群論中是一種特殊的性質(zhì)，只有當子群滿足這個條件時，我們才能稱之為正規(guī)子群。正規(guī)子群的存在使得我們能夠探討商群，商群的元素是由正規(guī)子群及其陪集構(gòu)成。

4、設(shè) H 和 K 是群 G 的正規(guī)子群，令 HK。因為對任意 g 屬于 G，Hg 和 Kg 都是 G 的子集，所以 HK 也是 G 的子集，且 HK 也是 G 的子群。若 H 是群 G 的一個子群，則 H 是 G 的正規(guī)子群當且僅當任意兩個左（右）陪集之積還是左（右）陪集。循環(huán)群的子群構(gòu)造的商群也是循環(huán)群。

5、特定陪集族個數(shù)為2的子群為不變子群以及不同陪集元素相乘仍屬于同一陪集。商群的概念擴展了群的理論，定義為群 [公式] 對正規(guī)子群 [公式] 的商群 [公式] 。在商群中，元素為等價類，而非單個元素。正規(guī)子群的引入允許我們通過等價關(guān)系定義新的群結(jié)構(gòu)，從而深入探索群的性質(zhì)與結(jié)構(gòu)。

6、在群論中，我們可以找到許多有趣的例子來展示子群和商群的概念。首先，考慮整數(shù)集 Z 在加法下的群，它的子群 2Z 包含所有偶數(shù)，這是一個正規(guī)子群，因為 Z 是阿貝爾群。